Die Einführung in die Differentialgleichungen fokussiert auf die Analyse der Eigenschaften von Lösungen anstelle der Suche nach geschlossenen Ausdrücken für Integrale. In der Einleitung wird bereits ein grundlegender Existenz- und Eindeutigkeitssatz für gewöhnliche Differentialgleichungen unter der Lipschitz-Bedingung vorgestellt. Diese Herangehensweise ermöglicht es dem Leser, mit einem soliden Verständnis der Theorie zu beginnen, bevor er sich mit einer systematischen Darstellung der Differentialgleichungen beschäftigt.
Inhaltsverzeichnis § 1. Die grundlegenden Existenzsätze.- 1. Die gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung.- 2. Calcul des limites. Majorantenmethode.- 3. Analytische Fortsetzung.- 4. Ein Satz von Painlevé.- 5. Analytische Abhängigkeit der Lösungen von den Anfangsbedingungen und von Parametern.- 6. Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung.- 7. Differentialgleichungen n-ter Ordnung.- 8. Lineare Differentialgleichungen und Systeme mit konstanten Koeffizienten.- 9. Schlußbemerkung über allgemeinere lineare Systeme.- § 2. Singuläre Stellen bei gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung.- 1. Der Begriff der singulären Stelle der Differentialgleichung.- 2. Der Satz von Painlevé für uneigentliche Stellen.- 3. Wesentlich singuläre Stellen.- 4. Pole von f(w,z).- 5. Außerwesentlich singulare Stellen zweiter Art der Differentialgleichung.- § 3. Das Verhalten der Lösungen von dw/dz = (aw + bz)/(cw + dz) für konstante a, b, c, d im Punkte (0, 0).- 1. Zwei Beispiele.- 2. Transformation der Differentialgleichungen auf Normalformen.- 3. Klasseneinteilung der Differentialgleichung (3.2.3).- § 4. Außerwesentlich singuläre Stellen zweiter Art.- 1. Ansatz zur Klasseneinteilung.- 2. Integration der partiellen Differentialgleichungen (4.1.19).- 3. Integration und Klasseneinteilung der Differentialgleichungen (4.1.1).- 4. Über die Ausnahmewerte ?1/?2 = n und ?1/?2= 1/n.- 5. Negativ reelle Werte ?1/?2.- 6. Der Fall ?1= ?2.- 7. Verschwindende Determinante der Linearglieder.- 8. Die Briot-Bouquetschen Differentialgleichungen (4.7.16) und (4.7.19).- 9. Algebraische Singularitäten der Differentialgleichung.- 10. Singuläre Integrale.- 11. Verallgemeinerung für Systeme von Differentialgleichungen.- § 5. Differentialgleichungen erster Ordnung im Großen.- 1.Feste und bewegliche Singularitäten.- 2. Die Riccatische Differentialgleichung.- 3. Ein Satz von Malmquist.- 4. Ein Analogon des kleinen Picardschen Satzes.- 5. Algebraische Differentialgleichungen.- 6. Ein Satz von Rellich.- § 6. Lineare Differentialgleichungen im Kleinen.- 1. Das allgemeine Integral.- 2. Beispiele.- 3. Verlauf der Lösungen in der Nähe einer isolierten singulären Stelle.- 4. Ein Kriterium für außerwesentlich singuläre Stellen.- 5. Berechnung des kanonischen Fundamentalsystems in der Umgebung einer außerwesentlich singulären Stelle.- 6. Berechnung des kanonischen Fundamentalsystems in der Umgebung einer wesentlich singulären Stelle.- 7. Verallgemeinerungen.- 8. Homogene lineare Differentialgleichungen für quadratische Matrizen und Systeme mit konstanten Koeffizienten.- 9. Isolierte singuläre Stellen bei Systemen linearer Differentialgleichungen.- 10. Stellen der Bestimmtheit.- 11. Berechnung der Fundamentalsysteme in der Umgebung einer singularren Stelle.- 12. Integrale, die sich an wesentlich singulären Stellen bestimmt verhalten.- 13. Thomés Normalreihen.- 14. Die Wachstumsordnung der Integrale.- 15. Äquivalente singuläre Punkte.- § 7. Differentialgleichungen der Fuchsschen Klasse.- 1. Begriffsbestimmung.- 2. Die determinierenden Gleichungen.- 3. Differentialgleichungen mit ein oder zwei singulären Stellen.- 4. Differentialgleichungen mit drei singulären Punkten.- 5. Differentialgleichungen mit vier singulären Punkten.- § 8. Die hypergeometrische Differentialgleichung.- 1. Die hypergeometrische Reihe.- 2. Logarithmenfreies kanonisches Fundamentalsystem bei z = 0.- 3. Logarithmenhaltiges kanonisches Fundamentalsystem bei z = 0.- 4. Kanonische Fundamentalsysteme für z = 1 und z = ?.- 5. Funktionalgleichungen für diehypergeometrische Funktion.- 6. Analytische Fortsetzung von F (?, ?, ?; z).- 7. Beweise zur analytischen Fortsetzung.- 8. Analytische Fortsetzung der übrigen Lösungen der hypergeometrischen Differentialgleichung.- 9. Analytische Fortsetzung in den Ausnahmefällen.- 10. Die Monodromiegruppe.- 11. Riemanns Integraldarstellung der hypergeometrischen Funktion.- 12. Die Schwarzsche Differentialgleichung.- 13. Konforme Abbildung.- 14. Algebraische Integrale linearer Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit rationalen Koeffizienten.- 15. Das Riemannsche Problem.- § 9. Die Besselsche Differentialgleichung.- 1. Fundamentalsystem bei z = 0.- 2. Die Besselsche Differentialgleichung als Grenzfall der Riemannschen.- 3. Asymptotisches Verhalten der Funktion Jn(z) für z ? ?.- 4. Zusammenhang mit Thomés Normalreihen.- 5 Elementare Integrale der Besselschen Differentialgleichung.- § 10. Differentialgleichungen der Fuchsschen Klasse mit vier singulären Punkten.- 1. Uniformisierung.- 2. Ein Satz von Plemelj.- 3. Randwertaufgaben.- 4. Obertheoreme.- 5. Die Lamésche Differentialgleichung.- § 11. Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten.- 1. Periodische Lösungen.- 2. Das allgemeine Integral.- 3. Stabilität und Instabilität.- 4. Doppelperiodische Koeffizienten.- § 12. Einige weitere Untersuchungen.- 1. Die Painlevéschen Transzendenten.- 2. Hölders Satz über die Gammafunktion.- 3. Ein Satz von Hurwitz.- 4. Untersuchungen von Wittich.- 5. Das Prinzip von Zeev Nehari.- 6. Nullstellenfreie Gebiete.- 7. Randwertaufgaben.- Namen- und Sachverzeichnis.
Das Buch ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives, das historische Publikationen seit 1842 umfasst. Es bietet wertvolle Quellen für die historische und disziplinäre Forschung und muss im Kontext seiner Entstehungszeit betrachtet werden. Der Titel stammt aus der Zeit vor 1945 und ist in seiner politisch-ideologischen Ausrichtung nicht beworben, was auf die Sensibilität und den historischen Kontext der Inhalte hinweist.
Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieser Titel erschien in der Zeit vor 1945 und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.
