Ernst Kunz Bücher

Dieses Buch kann als Fortsetzung der „Algebra“ desselben Autors angesehen werden. Es handelt von algebraischen Varietäten im affinen und projektiven Raum, das sind die Lösungsmengen von Systemen algebraischer Gleichungen. Im Mittelpunkt stehen die grundlegenden Begriffe, wie reguläre und rationale Funktionen, Dimensionen, Singularitäten und deren Eigenschaften. Darüber hinaus wird zum Konzept des Schemas hingeführt und dessen Nutzen in der Schnitt-Theorie gezeigt. An algebraischen Hilfsmitteln wird nur das verwendet, was zu einer einführenden Vorlesung gehört. Weitergehende Techniken der kommutativen Algebra sind in einem Anhang bereitgestellt. Außerdem können Abbildungen und Übungsaufgaben dem Leser helfen, sich mit diesem besonders faszinierenden Teil der Geometrie anzufreunden.

Inhaltsverzeichnis§ 1 Konstruktion mit Zirkel und Lineal.§ 2 Auflösung algebraischer Gleichungen.§ 3 Algebraische und transzendente Körpererweiterungen.§ 4 Teilbarkeit in Ringen.§ 5 Irreduzibilitätskriterien.§ 6 Ideale und Restklassenringe.§ 7 Fortsetzung der Körpertheorie.§ 8 Separable und inseparable algebraische Körpererweiterungen.§ 9 Normale und galoissche Körpererweiterungen.§ 10 Der Hauptsatz der Galoistheorie.§ 11 Gruppentheorie.§ 12 Fortsetzung der Galoistheorie.§ 13 Einheitswurzelkörper (Kreisteilungskörper).§ 14 Endliche Körper (Galois-Felder).§ 15 Auflösung algebraischer Gleichungen durch Radikale.Hinweise zu den Übungsaufgaben.Literatur.Sachwortverzeichnis.Symbolverzeichnis.

Inhaltsverzeichnis zur Terminologie. I. Algebraische Varietäten: Affine algebraische Varietäten, Hilbertscher Basissatz, irreduzible Komponenten, Hilbertscher Nullstellensatz, Spektrum eines Rings, projektive Varietäten und homogenes Spektrum. II. Dimension: Krulldimension topologischer Räume und Ringe, Primidealketten, Dimension affiner Algebren und projektiver Varietäten. III. Reguläre und rationale Funktionen auf algebraischen Varietäten, Lokalisation: Zariski-Topologie, Garbe der regulären Funktionen, Quotientenringe und -module, Eigenschaften von Quotientenringen, Fasersumme und Faserprodukt von Modulen. IV. Lokal-Global-Prinzip in der kommutativen Algebra: Übergang vom Lokalen zum Globalen, Erzeugung von Modulen und Idealen, projektive Module. V. Anzahl der Gleichungen zur Beschreibung einer algebraischen Varietät: Jede Varietät im n-dimensionalen Raum als Durchschnitt von n Hyperflächen, Ringe und Module endlicher Länge, Krullsche Hauptidealsatz, Anwendungen in noetherschen Ringen, graduierter Ring und konormaler Modul eines Ideals. VI. Reguläre und singuläre Punkte algebraischer Varietäten: Reguläre Punkte, Nullteiler eines Rings oder Moduls, Primärzerlegung, reguläre Folge, Cohen-Macaulay-Moduln und -Ringe. VII. Projektive Auflösungen: Projektive Dimension von Modulen, homologische Charakterisierung regulärer Ringe, Moduln der projektiven Dimension ≤ 1, algebraische Kurven in A3 als Durchschnitt zweier algebraischer F

* Employs proven conception of teaching topics in commutative algebra through a focus on their applications to algebraic geometry, a significant departure from other works on plane algebraic curves in which the topological-analytic aspects are stressed *Requires only a basic knowledge of algebra, with all necessary algebraic facts collected into several appendices * Studies algebraic curves over an algebraically closed field K and those of prime characteristic, which can be applied to coding theory and cryptography * Covers filtered algebras, the associated graded rings and Rees rings to deduce basic facts about intersection theory of plane curves, applications of which are standard tools of computer algebra * Examples, exercises, figures and suggestions for further study round out this fairly self-contained textbook

Inhaltsverzeichnis§ 1. Derivations.§ 2. Differential Algebras.§ 3. Universal Extension of a Differential Algebra.§ 4. Description of the Universal Extension in Special Cases.§ 5. Differential Modules of Field Extensions.§ 6. Differential Modules of Local Rings.§ 7. Differential Modules of Affine Algebras.§ 8. Smooth Algebras.§ 9. Differential Modules of Complete Intersections.§ 10. The Kahler Differents (Jacobian Ideals) of an Algebra.§ 11. Universally Finite Differential Algebras.§ 12. Differential Algebras and Completion.§ 13. Differential Modules of Semianalytic Algebras.§ 14. Regularity Criteria for Semianalytic Algebras.§ 15. Existence of p-Bases.§ 16. Traces of Differential Forms.§ 17. Residues in Algebraic Function Fields of one Variable.Appendices.A. Commutative Algebras.B. Dimension Formulas in Algebras of Finite Type.C. Complete Intersections.D. The Fitting Ideals of a Module.E. The Dual of a Module over a Noetherian Ring.F. Traces.G. Differents.Symbol Index.