Focusing on function theory, this book provides a dynamic exploration of concepts such as residue calculus, enriched with examples and practice exercises. It delves into the historical development of the theory, featuring biographical sketches of key figures and original citations with English translations. While it serves as a resource for students preparing for exams, it also unveils valuable insights for experts and offers ongoing relevance for educators and professionals in finance, industry, and science.
Die Riemannsche Fläche wird in der Funktionentheorie mehrerer komplexer Variablen seit den 1950er Jahren intensiv untersucht, insbesondere durch die analytische Fortsetzung holomorpher Funktionen. Die Berücksichtigung von Verzweigungspunkten, die zunächst von Behnke und Thullen 1933 ausgeschlossen wurden, führte zu konzeptionellen Herausforderungen. Erst 1951 entwickelten Behnke und Stein eine zufriedenstellende Definition des Verzweigungsbegriffs. Ihre Arbeit ermöglichte das Verständnis höherdimensionaler Riemannscher Flächen, die auch singuläre Punkte ohne lokale Uniformisierende enthalten können.
An ideal text for an advanced course in the theory of complex functions, this book leads readers to experience function theory personally and to participate in the work of the creative mathematician. The author includes numerous glimpses of the function theory of several complex variables, which illustrate how autonomous this discipline has become. In addition to standard topics, readers will find Eisenstein's proof of Euler's product formula for the sine function; Wielandts uniqueness theorem for the gamma function; Stirlings formula; Isssas theorem; Besses proof that all domains in C are domains of holomorphy; Wedderburns lemma and the ideal theory of rings of holomorphic functions; Estermanns proofs of the overconvergence theorem and Blochs theorem; a holomorphic imbedding of the unit disc in C3; and Gausss expert opinion on Riemanns dissertation. Remmert elegantly presents the material in short clear sections, with compact proofs and historical comments interwoven throughout the text. The abundance of examples, exercises, and historical remarks, as well as the extensive bibliography, combine to make an invaluable source for students and teachers alike
Aus den Besprechungen: „Aufgelockert durch viele Beispiele und Übungsaufgaben, wird die Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen bis zum Residuenkalkül entwickelt. Im Zentrum stehen die Integralsätze von Cauchy. Dabei begnügt sich der Autor oft nicht mit einem einzigen Beweis für einen Satz. Weitere Beweismöglichkeiten werden zumindest skizziert, oder man erhält genaue Angaben über die Originalarbeiten. Ebenso wird auf die ursprüngliche Formulierung von Sätzen hingewiesen. Jeder Paragraph schließt mit historischen Hinweisen, die auch die persönlichen Beziehungen der Beteiligten nicht ausklammern. So erfährt man natürlich die unterschiedlichen Standpunkte von Cauchy und Weierstrass. Neben den Themen, die in keinem Text zur Funktionentheorie fehlen dürfen, findet man auch “Raritäten„, etwa: Eisensteins Zugang zu den trigonometrischen Funktionen mittels Reihen oder Ritts Satz über asymptotische Reihenentwicklung, welcher einen berühmten Satz von E. Borel enthält. Das Buch kann als Lehrbuch für Anfänger dienen, aber es ist mehr: Ein Werk, das allen Mathematikern die Funktionentheorie näherbringen kann.“ # Elemente der Mathematik #1
Wer sich mit einer Wissenschaft vertraut machen möchte, sollte nicht nur die reifen Früchte ernten, sondern auch deren Wurzeln und Wachstumsbedingungen verstehen. Dieses Leitmotiv prägt den zweiten Band, der die Funktionentheorie in lebhaften historischen Kontexten und Verbindungen zu Nachbardisziplinen präsentiert. Der Leser soll die Funktionentheorie persönlich erleben und die Kreativität des Mathematikers nachvollziehen. Ein Lehrbuch sollte, wie GAUSS sagte, die Strukturen eines vollendeten Werkes nicht mehr sichtbar machen. Manchmal ist das Gefüge eines glatt verputzten Hauses nur zu skizzieren. Die Funktionentheorie wurde von bedeutenden Mathematikern wie ABEL, CAUCHY, JACOBI, RIEMANN und WEIERSTRASS geprägt, wobei auch viele andere wichtige Beiträge gewürdigt werden. Es geht nicht nur um die Könige der Mathematik, sondern auch um das Leben der Edelleute und Bürger in den Königreichen, was zu umfangreichen Literaturhinweisen führt. Dies ist ein kleiner Preis für die Förderung des Studiums der Quellen und der wissenschaftlichen Fortschritte. Anders als im ersten Band werden hier häufig Perspektiven auf die Funktionentheorie mehrerer komplexer Variablen eröffnet, um die Eigenständigkeit dieser Disziplin im Vergleich zur klassischen Funktionentheorie zu betonen.
Um die Fragestellungen in der elementaren Zahlentheorie zu verstehen, reicht die Fahigkeit zu zahlen aus; um sie zu beantworten, bedarf es aber oft scharfsinniger Uberlegungen und der Entwicklung fundamentaler Prinzipien. So beginnt dieses Buch mit der Primfaktorzerlegung und dem grossten gemeinsamen Teiler, zwei Begriffen, die aus dem Schulunterricht bekannt sind, die bei genauerer Betrachtung aber viel von ihrer Selbstverstandlichkeit verlieren. Auch der theoretische Hintergrund des aus dem Alltag wohlvertrauten Dezimalsystems wird erortert. Weitere behandelte Themen sind Kongruenzenrechnung, primitive Wurzeln und, zu guter Letzt, das Reziprozitatsgesetz fur quadratische Reste. Das vorliegende Buch richtet sich an Dozenten und Studenten der Mathematik, Lehrer an Realschulen und Gymnasien, jeden, der sich fur ein weit uber dreitausend Jahre altes Teilgebiet der Mathematik interessiert. Es setzt dabei keine Kenntnisse ausser elementarem Schulstoff voraus. Aufgrund seiner Ausfuhrlichkeit lasst sich der Text nicht nur vorlesungsbegleitend verwenden, sondern ist auch zum Selbststudium geeignet. Aufgaben am Ende eines jeden Paragraphen uben den behandelten Stoff ein und vertiefen ihn.
