Gruppen, Parkette und Selbstähnlichkeit

Gegenstand dieses Buches sind Parkette in metrischen Räumen, auf deren Bausteinmenge eine Gruppe von Isometrien frei und transitiv operiert, und die selbstähnlich sind, d. h. eine expansive Abbildung bildet jeden Baustein exakt auf die Vereinigung einer bestimmten Anzahl von Bausteinen ab. Zweck der Untersuchungen ist es, scheinbar komplizierte geometrische Objekte in einer knappen algebraischen Information zu kodieren und mit algebraischen Mitteln zielgerichtet zu konstruieren. Für den euklidischen Raum werden Klassifikationssätze bewiesen und Algorithmen zur systematischen Konstruktion von Parketten entwickelt. Komplette Serien von Parkettbausteinen, die mit einem Computerprogramm berechnet wurden, werden vorgestellt. Auch für den nichteuklidischen Fall werden allgemeine Aussagen bewiesen, deren Anwendung durch eine ausführliche Beispielrechnung auf der Heisenberg-Gruppe verdeutlicht wird. Durch die Untersuchung der Beziehungen zwischen selbstähnlichen Parketten und expansiven Gruppenhomomorphismen wird es möglich, eine Reihe von geometrischen Problemen in die Sprache der Algebra zu übersetzen und dort zu lösen. Mit der Konstruktion von „Galois-Dualen“ zu bestimmten quasiperiodischen Parketten wird unterstrichen, dass die rein algebraische Behandlung selbstähnlicher Parkette auch im aperiodischen Fall interessante Resultate liefert. Die Ausführungen werden durch zahlreiche Abbildungen illustriert.