Einführung in die Theorie und Anwendung der Wavelets

In diesem Buch wird eine elementare Einführung in die Theorie der Wavelets gegeben. Das Buch richtet sich an Studenten der Mathematik, Informatik, Physik und Ingenieurwissenschaften nach dem Vordiplom, die eine erste Einführung in dieses relativ neue Gebiet der Mathematik und seine Anwendungen suchen. Nach dem einführenden Beispiel des Haar-Wavelets wird zunächst eine kurze Wiederholung der benötigten Begriffe aus der Theorie der Fourier-Reihen und -Integrale gegeben. Dann wird der Begriff des Filters definiert, und in den Filtern von Esteban und Galand sehen wir bereits wesentliche Eigenschaften der diskreten Wavelet-Transformation. In den folgenden 3 Kapiteln werden zwei grundlegende Konstruktionen für Wavelets vorgestellt. Dabei handelt es sich um die Konstruktion von Wavelets mit kompaktem Träger nach I. Daubechies und die Battle-Lemari'e-Wavelets. Hierbei werden bis auf ein tiefliegendes Ergebnis vor A. Cohen alle Resultate bewiesen, und es sollte dem Leser möglich sein, die verwendeten Techniken zu verstehen. Nach einer kurzen Darstellung der diskreten Wavelet-Transformation auf periodischen Gebieten und für zwei Dimensionen, ist es bereits möglich, eine interessante Anwendung der Wavelets im Bereich der Bildkompression vorzustellen. Im Vergleich mit dem JPEG-Algorithmus, der lokale Fourier-Transformationen verwendet, zeigt sich, dass selbst einfache Wavelet-Kompressionsalgorithmen vergleichbare Ergebnisse liefern. Dies zeigt dem Leser die Anwendbarkeit der entwickelten Theorie. Die beiden letzten Kapitel widmen sich wieder mehr theoretischen Fragestellungen aus dem Gebiet der Approximationstheorie. Diese Resultate sind für die Interpretation der Ergebnisse, die man bei den diskreten Filterungen erhält, nötig. Abschließend kann man sagen, dass das Buch zum einen eine Einführung in wesentliche Teile der Theorie gibt und zum anderen den Leser in die Lage versetzen sollte, weiterführende Literatur zu diesem Thema zu studieren.