Die ebenen periodischen Muster

Die vorliegende Arbeit bestimmt die Symmetriegruppen von zweifach periodischen ebenen Mustern (Wandmustergruppen). Dieses klassische Gebiet der Geometrie steht in enger Verbindung zur Darstellenden Kunst, wo solche Muster seit Jahrtausenden verwendet werden und in der islamischen Kunst ihren höchsten Ausdruck fanden. Das Buch will beide Aspekte verbinden, wobei der mathematische naturgemäß im Vordergrund steht. Eine Klassifikation aller Wandgruppenmuster (bis auf Konjugation in der Gruppe der euklidischen Kongruenzabbildungen) wurde erst 1891 erzielt. Die in der Literatur gegebenen Beweise für die Vollständigkeit der Klassifikation sind jedoch nicht überall befriedigend. Andreas Amberger geht deshalb in wichtigen Details eigene Wege. Jedem doppelperiodischen ebenen Muster liegt ein Gitter in der Ebene zugrunde, das von den Muster-erhaltenden Translationen erzeugt wird. Im ersten Schritt klassifiziert der Autor daher alle Gitter und ihre Symmetrien. Das Gitter wird allerdings von den Symmetrien des Musters nicht notwendig invariant gelassen; man muss es daher im zweiten Schritt um die Drehzentren aller möglichen Gitterdrehungen erweitern. Erst diese größere Punktmenge, die allein aus der Kenntnis des Gitters zu bestimmen ist, wird von der Wandmustergruppe invariant gelassen. So können die 17 möglichen Wandmustergruppen explizit bestimmt und ein Algorithmus entwickelt werden, mit dem für jedes vorgelegte Beispiel die zugehörige Gruppe leicht zu erkennen ist. Amberger hat für alle Gruppen Beispiele aus der europäischen und islamischen Kunst gesammelt, die in einem zweiten Abschnitt der Arbeit vorgestellt und diskutiert werden. Mit diesem Buch liegt eine sehr gründliche und auch ästhetischen Ansprüchen genügende Studie zu den periodischen Mustern vor, die ohne weiteres auch im Schulunterricht verwendet werden kann.