Numerische Modellierung freier Randwertaufgaben und Anwendung auf das Laserschneiden

Das Schmelzschneiden mit Laserstrahlung ist ein technisch etabliertes Fertigungsverfahren. Aus Anwendersicht soll die Produktivität des Verfahrens unter wachsenden Qualitätsanforderungen gesteigert werden. Hierzu werden Laserschneidmaschinen in Zukunft zunehmend mehr autonome Eigenschaften besitzen. Sie werden den dynamischen Zustand von Laser, Maschine und Prozeß überwachen, um den Einfluß von Störungen und Parameteränderungen zu kompensieren. Um eine größere Produktivität des Verfahrens bei reproduzierbarer Qualität des Produktes zu erreichen, wird ein tieferes Verständnis der physikalisch bedingten Grenzen des Schneidprozesses erforderlich und die vorliegenden Kenntnisse auf den Gebieten der Steuerung und Regelung, der Überwachung und Diagnose sowie der Modellbildung und Simulation müssen zusammengeführt werden. Die mathematischen Modelle der Laser-Fertigungsverfahren werden als ein System partieller Differentialgleichungen formuliert, welche an freien Rändern, den Phasengrenzen, gekoppelt sind. In der vorliegenden Arbeit wird eine Kombination analytischer und numerischer Methoden zum Auffinden anwendungsrelevanter Modelle für die Laser-Fertigungsverfahren beschrieben. Diese Vorgehensweise basiert auf einer Skalentrennung und der daraus resultierenden Hierarchie gekoppelter Teilprozesse. Im Vergleich zu reinen numerischen Lösungen des Gesamtmodells wird die Existenz von Grenzschichten berücksichtigt, die eine charakteristische Eigenschaft der dynamischen Prozesse der Laser-Fertigungsverfahren sind. Mit Hilfe der singulären Störungstheorie werden die mit physikalischen Teilprozessen verbundenen Längen- und Zeitskalen identifiziert sowie die Eigenschaften von Grenzschichten diskutiert. Durch eine mathematische Analyse des physikalischen Modells wird die Lösungsstruktur von Teilprozessen dargelegt und reduzierte Teilmodelle angegeben. Die reduzierten Teilmodelle beschreiben die für numerische Verfahren schwer zu erfassenden Grenzfälle asymptotisch exakt. Numerische Berechnungen erlauben die Berücksichtigung zusätzlicher Effekte, welche in der Asymptotik nicht enthalten sind und liefern die Grenzen der Anwendbarkeit asymptotischer Grenzfälle. Zur effizienten Berechnung des Gesamtprozesses werden reduzierten Teilmodelle mit numerischen Modellen (nicht reduzierbarer Teilprozesse) gekoppelt.