Die Mathematik des Unendlichen

Dieses Buch entstand aus einer Reihe von Vorlesungen zur Geschichte des Unendlichen. Es wendet sich nicht nur an Mathematiker, sondern ist so angelegt, daß es von jedem interessierten Laien mit guten mathematischen Schulkenntnissen verstanden werden kann. Die Darstellung ordnet die großen Bereiche, in denen das Unendliche in der Mathematik gesucht und — tatsächlich oder vermeintlich — gefunden worden ist: Die natürlichen Zahlen, unendliche Folgen und Reihen nebst Grenzwertbegriff sowie als Anwendung dieses Instrumentariums die Theorie der irrationalen und der transzendenten Zahlen. Dazu kommt die Entwicklung des unendlich Kleinen vom Exhaustionsverfahren zu den Integralen und von den Infinitesimalen zu den Differentialen. Nach der Behandlung dieser klassischen mathematischen Themen findet der Leser eine genaue Analyse des Wandels vom Begriff des potentiell Unendlichen zum Begriff des aktual Unendlichen, der mit den herausragenden Forscherpersönlichkeiten Bernard Bolzano und Georg Cantor verbunden ist. Die daraus erwachsene moderne Mengenlehre erlaubte in Form transfiniter Zahlen erstmals eine quantitative Fassung des Unendlichen und unendlich vieler Unendlichkeiten darüber hinaus. Sie führte notwendig zur Spaltung des Zahlbegriffs in Ordinalzahl und Kardinalzahl. Diese Entwicklung wird im einzelnen dargestellt und abschließend kritisiert, indem verschiedene Widersprüche aufgezeigt werden, die insbesondere bei der Interpretation der transfiniten Äquivalenzklassen als Zahlen unvermeidbar sind. Stärker als sonst in mathematischen Untersuchungen üblich wird der Aspekt der physikalischen Basis der Mathematik betont und zur Grundlage eines realistischen Zahlenverständnisses gewählt. Als Ergebnis stellt sich heraus, daß die Mathematik zum Zwecke des Diskurses über Zahlen und Zusammenhänge auf die begrenzten Ressourcen des Universums angewiesen ist. Diese sind weitaus geringer, als man gemeinhin annimmt. Sämtliche im Universum vorhandenen Atome würden nicht einmal ausreichen, um alle achtzigstelligen Dezimalzahlen zu notieren. Als Resümee ergibt sich, daß das heute aus allen exakten Wissenschaften verbannte Unendliche auch in der Mathematik keinen Platz mehr findet.