Sequentielle Tests für das Rasch-Modell

Inhalt und Ziel der vorliegenden Abhandlung ist der Vorschlag und die Diskussion statistischer Tests der Hypothese der Modellgültigkeit des dichotomen Rasch Modells. In diesem Zusammenhang wurde auf den Ansatz der sequentiellen Theorie statistischen Hypothesentestens nach Wald (1947) zurückgegriffen, welche als Teil der Neyman- Pearson Theorie betrachtet wird. Sequentielles Hypothesentesten erweitert die Neyman- Pearson Theorie, indem der Stichprobenumfang nicht als Konstante, sondern als Zufallsvariable behandelt wird. Der sequentielle, statistische Test ist eine Regel, die für jeden Wert (jedes mögliche Stichprobenergebnis) der Zufallsvariablen definiert, welche von drei Entscheidungen zu treffen ist. Erstens, die zu testende Hypothese anzunehmen, zweitens, sie abzulehnen oder drittens, weitere Beobachtungen zu machen. Dementsprechend wird der Stichprobenraum in drei sich gegenseitig ausschließende Subregionen unterteilt, den Annahmeraum der zu testenden Hypothese, den Ablehnungsraum oder kritischen Bereich und den indifferenten Raum. Ein statistischer Test mit festem Stichprobenumfang hingegen ist (nach der Neyman- Pearson Theorie) durch eine Zerlegung des Stichprobenraums in lediglich zwei komplementäre Regionen, den Annahmeraum und den Ablehnungsraum bzw. kritischen Bereich, definiert. Die Prinzipien, nach denen die Wahl der drei Subregionen des Stichprobenraums beim sequentiellen Test vorgenommen wird, basieren auf dem Konzept der Wahrscheinlichkeiten der Fehler 1. und 2. Art. Der Vorteil sequentieller Tests liegt in ihrer Effizienz, da sie im Schnitt eine deutlich kleinere Anzahl von Beobachtungen (bis zu 50 %) benötigen, um die zu testende Hypothese entweder anzunehmen oder sie abzulehnen, als entsprechende Tests mit festem Stichrobenumfang, welche die Risiken der Fehler 1. und 2. Art auf denselben Niveaus kontrollieren. Der von Wald entwickelte Sequential Probability Ratio Test wurde der Testung des Rasch Modells zugänglich gemacht, indem gezeigt wurde, wie eine vollständig spezifizierte, einzelne Wahrscheinlichkeitsverteilung der möglichen Stichprobenergebnisse unter der Alternativhypothese abgeleitet werden kann. Es wurden drei verschiedene Fälle der Testung des Rasch Modells unterschieden und theoretisch zufrieden stellende Lösungen in Bezug auf die Einhaltung oberer Grenzen der Wahrscheinlichkeiten der Fehler 1. und 2. Art angegeben. Erstens, die Testung des Modells gegen eine restringierte, zusammengesetzte Alternativhypothese. Zweitens, die Testung des Modells gegen eine unrestringierte, zusammengesetzte Alternative und drittens, die Testung des Rasch Modells als zusammengesetzte Hypothese. Damit stehen statistische Modelltests zur Diskussion, mit denen, im Unterschied zu den konventionellen Tests des Rasch Modells, auf der Basis einer minimalen Anzahl von Beobachtungen nicht nur das Risiko des Fehlers 1. Art, sondern auch die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art auf einem vorgegebenen Niveau kontrolliert werden kann. Der Kontrolle des Risikos des Fehlers 2. Art bei der Testung des Rasch Modells kann eine besondere Bedeutung zugeschrieben werden, da die Wahrscheinlichkeit einer fälschlichen Annahme der Hypothese der Modellgültigkeit und somit einer falschen Auswertung und Interpretation experimenteller Beobachtungen auf einem vorgegebenen Niveau kontrolliert werden kann. Die Effizienz des Sequential Probability Ratio Tests bietet zudem den praktischen Vorteil der Minimierung der Kosten experimenteller Studien.