Multi-objective optimization in mixed integer problems

Bei der Behandlung von Krebs mit Hilfe der Strahlentherapie versucht man, einen maximalen Anteil des Tumorgewebes zu bestrahlen und dabei gleichzeitig die Belastung der gesunden Organe minimal zu halten. Es ist klar, dass es keinen offensichtlichen Kompromiss bezüglich dieser beiden Kriterien gibt. Das Problem der Einstrahlrichtungswahl bei der Strahlentherapie besteht in der Festlegung einer Menge von Richtungen, aus denen der Patient bestrahlt werden soll, und der Wahl eines Intensitätsprofils für jede dieser Richtungen, sodass eine gleichmässige Dosisverteilung im Tumor gewährleistet und schädigende Strahlungsmengen in den benachbarten Risikoorganen vermieden werden. Diese Dissertation widmet sich der Darstellung eines Verfahrens zur multi-kriteriellen Wahl der Einstrahlrichtungen. Dazu werden Methoden zur konvexen und nichtkonvexe Approximation der Pareto-Menge untersucht, und beschleunigte konvexe Lösungsalgorithmen werden vorgestellt. Zur Lösung des Einstrahlrichtungsproblems verwenden wir Branch-and-Bound- Algorithmen, welche einen beweisbaren Abstand zum Optimalwert liefern. Für klinische Fälle werden diese Verfahren mit Heuristiken verglichen. Man stellt fest, dass die Heuristiken in den meisten Fällen eine adäquate Lösung liefern, und dass viele unterschiedliche Einstrahlkonfigurationen in einer ähnlichen Behandlung resultieren. Um die Pareto-Menge des Problems zu approximieren, nutzen wir die Konvexität des Problems im Falle einer festen Menge von Einstrahlrichtungen aus. Ein verbesserter Sandwiching-Algorithmus wird zur Approximation dieser ”Patches” verwendet, welche uns erlauben, zielgerichtet nach nicht-dominierten Lösungen des multikriteriellen Problems in drei oder vier Dimensionen zu suchen. Wir zeigen, dass sich multikriterielle Optimierung in der Radiotherapie als anwendbar und nützlich erweist, und dass durch eine gute Implementierung das Problem der Einstrahlrichtungswahl zufriedenstellend gelöst werden kann.