Lineare Algebra

Die Lineare Algebra ist für die Ingenieurwisenschaften ein grundlegendes Gebiet. Denn Ingenieurwissenschaftler benötigen beim Prozess der Modellbildung einerseits ein grundlegendes Verständnis für eine präzise Formulierung von Modellen. Modellbildung bedeutet Abstraktion. Abstraktionsvermögen und Präzision sind zentrale Bausteine der Mathematik und damit der Linearen Algebra. Andererseits sind Ingenieurwissenschaftler Anwender. Das eigenständige Entwickeln und Implementieren von Algorithmen oder die Aufbereitung und Analyse von Messdaten sind geforderte Fähigkeiten. Dazu benötigen Ingenieurwissenschaftler häufig Methoden und Verfahren der Linearen Algebra in ihrer alltäglichen praktischen Arbeit. Es ist somit eine sinnvolle Balance zwischen vermittelter Theorie und Praxis notwendig, die mit diesem Buch erreicht werden soll. Das Buch gliedert sich in vier Teile. Im ersten Teil wird zunächst über die Mathematik gesprochen. Die Mathematik als einzige rein axiomatisch-deduktive Wissenschaft besitzt einen Formalismus, an den es sich zu gewöhnen gilt. So ist es in der Mathematik beispielsweise üblich Abbildungen präzise durch Angabe einer Definitions- und einer Bildmenge sowie der Abbildungsvorschrift zu definieren. Diese „Spitzfindigkeiten“ sind kein Selbstzweck, sondern elementare Bausteine zum Verständnis und für die Modellierung technischer Sachverhalte. Darum werden auch alle Aussagen zur Linearen Algebra in diesem Buch ausführlich und nachvollziehbar bewiesen. Im zweiten Teil des Buches werden die Grundelemente der Linearen Algebra angesprochen und aufgebaut. Das zentrale Stichwort dabei ist der Vektorraum über einem gegebenen Körper, denn die Lineare Algebra ist die Theorie der Vektorräume und der lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen. Die Idee liegt in der Abstraktion des Anschauungsraumes. Im dritten Teil werden Anwendungen der Vektorraumtheorie behandelt. Dabei werden zuvorderst lineare Gleichungssysteme besprochen. Mit Hilfe der Begriffe der Determinante und der Polynome lässt sich die praktische Anwendung der Interpolation von Messdaten motivieren und einführen. Im vierten Teil wird der Vektorraumbegriff erweitert um spezielle Bilinearformen, wie etwa das Skalarprodukt. So ist es möglich, Winkel und Abstände zu definieren oder einfache geometrische Punktmengen zu charakterisieren. Nicht zuletzt kann damit die lineare Approximation als Erweiterung der Interpolation motiviert und können die Methoden der QR-Zerlegung, Hauptachsentransformation oder der Jordan-Zerlegung eingeführt werden.