Zur Effizienz gitterfreier Methoden für die Simulation zweiphasiger, poröser Medien

In der vorliegenden Arbeit wurde ein neuartiges Konzept gitterfreier Methoden zur Analyse poröser Medien entwickelt. Die Herleitung der geglätteten schwachen Galerkin-Form für die zwei Phasen des vollständig gesättigten, porösen Mediums sowie die Erweiterung der numerischen Integration auf die gekoppelte Differentialgleichung waren die Hauptaufgaben. Dabei stand die Reduzierung der Rechenzeiten gegenüber bekannten gitterfreien Methoden im Fokus. Die numerische Integration der geglätteten schwachen Galerkin-Form erfolgt über die Ränder der Glättungsbereiche. Im Gegensatz zur Integration der etablierten schwachen Galerkin-Form ist der Rechenaufwand damit deutlich reduziert. Die Ableitungen der Ansatzfunktionenwerdennichtlängerbenötigt. DarausergebensichvielfältigeMöglichkeiten für die Wahl geeigneter Ansatzfunktionen. Zusätzlich wird der Rechenaufwand zum Aufstellen der Systemmatrizen, welcher schon durch die Verwendung von lediglich einem Satz Integrationspunkte und -gewichte gering gehalten wird, weiter reduziert. Die Verwendung von T-Schemen ermöglicht die Selektion einer definierten Anzahl von Unterstützungspunkten. Dadurch kann der Aufwand abgeschätzt und eine notwendige Mindestanzahl an Unterstützungspunkten garantiert werden. Die Untersuchung der Methoden anhand verschiedener numerischer Beispiele und der Vergleich mit Standardmethoden, welche auf der schwachen Galerkin-Formulierung basieren, zeigten vielversprechende Ergebnisse. Die vorgestellten Methoden benötigen weitaus weniger Rechenaufwand. Alle untersuchten Varianten rechnen zudem stabil und liefern hinreichend genaue Ergebnisse. Keines der Konzepte konnte die anderen bezüglich seiner Effizienz eindeutig überragen. Dennoch konnten für einige Einflussfaktoren Tendenzen beobachtet werden. Durchweg effizient zeigte sich insbesondere die T3 ES-PPIM, die auch aufgrund ihres simplen Aufbaus leicht zu implementieren ist. Als weiteres Kernstück der vorliegenden Arbeit wurde ein h-adaptives Verfahren entwickelt, welches auf die vorgestellten Methoden zugeschnitten ist, indem die Fehlerindikation beide Feldvariablen der gekoppelten DGL berücksichtigt und das Einfügen neuer Feldpunkte auf den Glättungsbereichen basiert. Der Fehlerindikator kann die Bereiche mit hohen Fehlern zuverlässig vorhersagen. Die Anwendung auf konkrete Problemstellungen zeigte, dass die Genauigkeit der Methoden durch die h-adaptive Anpassung der Feldpunktverteilung weiter verbessert werden kann.